Fonctions cosinus et sinus - Spécialité
Limite
Exercice 1 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto - x^{4} + 2x^{3}\operatorname{sin}{\left (7x -6 \right )}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{- x^{4} + 2x^{3}\operatorname{sin}{\left (7x -6 \right )}}\]
Exercice 2 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; 0\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{2x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} + 2}{-3x}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; 0\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; 0\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{2x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} + 2}{-3x}}\]
Exercice 3 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit f la fonction définie par \[f: x \mapsto \dfrac{-2x -4}{4x + \operatorname{sin}{\left (3x \right )} -4}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, pour x suffisamment petit. (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, pour x suffisamment petit. (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-2x -4}{4x + \operatorname{sin}{\left (3x \right )} -4}}\]
Exercice 4 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto -4x^{3} -3\operatorname{cos}{\left (8x + 9 \right )}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{-4x^{3} -3\operatorname{cos}{\left (8x + 9 \right )}}\]
Exercice 5 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; -1\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{4x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} + 1}{-2x -2}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; -1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; -1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{4x + \operatorname{cos}{\left (3x \right )} + 1}{-2x -2}}\]